Matrices

MATRIZ

Una matriz es un arreglo de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.

A una matriz con (n) filas y (m) columnas se le denomina matriz (n-por-m) escrito (n x m) donde (n, m) pertenecen a los números naturales exceptuando el cero. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.

Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B…) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

EJEMPLO:

En el ejemplo vemos que la matriz esta nombrada con la letra (A) en mayúscula, y todas sus entradas tienen esta misma letra pero en minúscula (a).

En esta parte de la matriz, vemos como son nombradas las entradas de esta; en el caso de la entrada (a32) notamos que se nombra primero el numero de la fila que es (3) y luego el numero de la columna que es (2).

OPERACIONES DE MATRICES.

A). Suma: Se define la suma de dos matrices como la suma de (A+B) donde el requisito para poder realizar esta operación es que ambas matrices A y B  sean de igual tamaño, al realizar la suma de matrices  se realiza sumando la entrada de A con la misma entrada en B . (a12 + b12).

EJEMPLO:

En el ejemplo lo primero que vemos es que son matrices de igual tamaño y por lo tanto se puede efectuar la suma; también vemos como en la matriz resultante (A+B) se suman las entradas de la matriz A mas las entradas de la matriz B. y tenemos como resultado la matriz (A+B) Marcada de azul. 

Propiedades de la Suma:

        

              - Asociativa:

                                         (A + B) + C = A + (B + C)

              

             - Conmutativa:

                                         (A + B) = (B + A) 

                    

B). Producto de un Escalar por una Matriz: Se define producto de un escalar por una matriz, a una matriz A=(n x m) que es multiplicada por un numero real (K), donde cada elemento de la matriz (A) es multiplicado por (K).

EJEMPLO:

En el ejemplo vemos como cada una de las entradas de la matriz formada de 3x3 es multiplicada por el numero 2, dando como resultado la matriz que esta marcada en color azul.

C). Producto de Matrices: Se define la multiplicación de matrices como el producto de (A * B) donde el requisito para efectuar la operación, es que el numero de columnas de (A) sea igual al numero de filas de (B). Para realizar el producto se hace multiplicando la entradas de filas en (A) por entradas de columnas en (B). de la siguiente manera (a11 * b11) + (a12 * b21) + (a13 * b31) y asi sucesivamente hasta resolver todo el producto.

EJEMPLO:

En el ejemplo vemos primeramente que el numero de columnas de la primera matriz (A) es igual al numero de filas de la segunda matriz (B), por lo tanto se puede realizar el producto, luego vemos como las entradas de las filas de (A) multiplican las entradas de las columnas de (B), dando como resultado la matriz marcada de azul.

Propiedades del Producto:

             - Asociativa:

                                         (A * B) * C = A * (B * C)

              

             - Conmutativa:

                                         (A * B) =/= (B * A) -No es Conmutativa.

             - Distributiva respecto a la suma:
                                         A * (B + C) = A * C + A * B

MATRIZ TRANSPUESTA.

Dada una matriz A, se llama matriz transpuesta al cambio de orden de entradas de esta matriz, donde las filas de (A) pasan a ser columnas en (A).

EJEMPLO:

En el ejemplo vemos claramente que la matriz (A) al ser transpuesta cambian de orden sus filas y columnas, y lo que eran las filas en (A) pasan a ser columnas en A transpuesta como se indica en l matriz marcada de color azul.

MATRIZ BINARIA.

Una matriz binaria de (m x n), es una matriz en donde todas sus entradas son bits. Esto significa, que cada una de sus entradas tiene un valor de 1 o 0.

EJEMPLO:

En el ejemplo la matriz (A), es una matriz binaria de (6 x 6).

OPERACIONES DE MATRICES BINARIAS. 

Las operaciones de matrices se pueden calcular de manera muy fácil por el hecho de que sus entradas son 1 y 0, las operaciones las podemos calcular por medio de las siguientes tablas:

MATRIZ INVERSA POR COFACTORES

La matriz adjunta, o de cofactores de la matriz A que denotamos por Adj(A), es la matriz cuyo elemento (i, j)(fila i ; columna j) es el adjunto ad _{i , j} = ( - 1 ) ^{i + j} · det( A ^{i , j} ) donde la matriz A ^{i , j} es la matriz que resulta al quitar a la matriz A la fila i y la columna j.

Se cumple que la matriz inversa de A, A ^-1 se puede escribir en función de su adjunta como:

donde la notación de la potencia T expresa transposición de matrices.

Notemos que en la expresión anterior se divide por el determinante, con lo que éste no puede ser cero. Esto es obvio ya que si esto ocurre, la matriz es singular (no regular) y, por tanto, no tiene matriz inversa.

EJEMPLO:

Calculamos los cofactores de A (los elementos de su matriz adjunta).

La matriz adjunta es:

Calculamos el determinante de A:

La matriz inversa es:

Explicación: