ÁLGEBRA LINEAL: Vectores

VECTORES

Un vector es un segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee diferentes características que son:

A). Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector o donde este inicia.

B). Modulo: Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.

C). Dirección: Viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.

D). Sentido: Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

Los vectores siempre se grafican mediante segmentos de recta que ubicamos en el plano cartesiano, estos los podemos graficar en R2 O R3 Según su magnitud.

R2: En el sistema de coordenadas R2 se manejan únicamente dos ejes "X" y "Y".

R3: En el sistema de coordenadas R3 se manejan Tres ejes "X", "Y" y "Z".

OPERACIONES CON VECTORES.

U=(U1, U2, U3), V=(V1, V2, V3), W=(W1, W2, W3)

A). Suma:

U+V = (U1+V1 ; U2+V2 ; U3+V3)

EJEMPLO:

U=(5, 8, 9), V=(2, 10, 6)

U+V = (5+2 ; 8+10 ; 9+6)

U+V = (7 ; 18 ; 15)

B). Multiplicación por un escalar:

K pertenece a R.

KU = (KU1 ; KU2 ; KU3)

EJEMPLO:

U=(5, 8, 9) K=2

KU = (2(5) ; 2(8) ; 2(9))

KU = (10 ; 16 ; 18)

C). Combinación lineal:

KU + W = (KU1 ; KU2 ; KU3) + (W1 ; W2 ; W3)

EJEMPLO:

U=(5, 8, 9), W=(3, 4, 2), K=2

KU + W = (2(5) ; 2(8) ; 2(9)) + (3 ; 4 ; 2)

KU + W =(10 ; 16 ; 18) + (3 ; 4 ; 2)

KU + W =(13 ; 20 ; 20)

NORMA DE VECTOR.

Sea U = (U1, U2, U3)

||U|| = √((U1)^2+ (U2)^2+ (U3)^2 )

EJEMPLO:

U = (5, 8, 3)

||U|| = √((5)^2+ (8)^2+ (3)^2 )

||U|| = √25 + 64 + 9

||U|| = √98 = 9,89

VECTOR UNITARIO.

Sea U = (U1, U2, U3)

||U|| = 1

V = (1/||U||)(U1, U2, U3)

EJEMPLO:

U = (3, 2, 1)

||U|| = √(3)^2+ (2)^2+ (1)^2 = √14

V = (1/||U||)(U1, U2, U3)

V = (1/√14)(3, 2, 1)

V= (3/√14 ; 2/√14 ; 1/√14)

PRODUCTO PUNTO

El Producto punto de dos vectores será un numero escalar y se hará de la siguiente manera:

Sean:

U = (X1,Y1,Z1) y V = (X2,Y2,Z2)

El producto punto de (U.V) sería igual a:

U.V = ( X1.X2 + Y1.Y2 + Z1.Z2) = K

K es el escalar resultante a la multiplicación de los vectores.

Es decir el producto punto es la suma de las mediciones multiplicadas por sus respectivas de los vectores.

EJEMPLO:

U = (5,3,8) V = (3,9,2)

U.V = ( (5).(3) + (3).(9) + (8).(2) ) = 58

Sin embargo el producto punto también lo podemos usar para hallar el angulo entre dos vectores de la siguiente manera.

-U.V = ||U|| . ||V|| Cos ⍺

-Cos ⍺ = U.V / ||U||.||V||

EJEMPLO:

U = (1, 3, -1) V = (-2, 1, 4) ⍺ = 35

||U|| = √((1)^2+ (3)^2+ (-1)^2 ) = √11

||V|| = √((-2)^2+ (1)^2+ (4)^2 ) = √21

U.V = ( √11) . ( √21) Cos 35

U.V = 12,45°

Segun el angulo resultante, si:

⍺ < 90° (Agudo)

⍺ > 90° (Obtuso)

⍺ = 90° (Ortogonal)

PROYECCIÓN ORTOGONAL

La proyección ortogonal es aquella cuyas rectas proyectantes auxiliares son perpendiculares al plano de proyección (o a la recta de proyección), estableciéndose una relación entre todos los puntos del elemento proyectante con los proyectados.

En el plano, la proyección ortogonal es aquella cuyas líneas proyectantes auxiliares son perpendiculares a la recta de proyección.

PROYECCIÓN ORTOGONAL DE UN VECTOR SOBRE OTRO.

Como se calcula:

Proyección del vector U , sobre el vector V.

Proyección del vector V, sobre el vector U.

EJEMPLO:

U = (4, 3) V = (5, 2)

Proy v U = (5)(4)+(3)(2) /  √((5)^2+ (2)^2 )

Proy v U = 26 /  √29

Proy v U = 4,82

Proy u V = (5)(4)+(3)(2) /   √((4)^2+ (3)^2 )

Proy u V = 27 / 5

Proy u V = 5,2

PRODUCTO CRUZ

El Producto cruz es el determinante de la matriz que se genera por los dos vectores con la primer linea de i, j y k. Es decir como resultado tendremos un vector y para poder calcularlo hay que hacer el uso de determinantes, de la siguiente manera:

De esta manera obtenemos el producto cruz (U x V) que nos da como resultado un nuevo vector con el cual podemos hallar el área del paralelogramo formado por los vectores U y V, usando la formula de norma de vector.

EJEMPLO:

U = (2, 1, 3) V = (-1, -3, 1)

U x V

Área de un paralelogramo.

Por medio del producto cruz podemos saber que área tiene un paralelogramo que se forma uniendo las paralelas de dos vectores de la siguiente manera:

EJEMPLO:

U = (2, 1, 3) V = (-1, -3, 1)

U x V =

|| U x V || = √((10)^2+ (-5)^2+ (-5)^2 ) = √100+25+25 = √150 = 12.24

Area del paralelogramo = 12.24 (Unid 2)

Área de un triangulo.

Por medio del producto cruz podemos saber que área tiene un triangulo que se forma uniendo las cabezas de dos vectores de la siguiente manera:

EJEMPLO:

U = (2, 1, 3) V = (-1, -3, 1)

U x V =

1/2|| U x V || = 1/2 (√((10)^2+ (-5)^2+ (-5)^2 )) = 1/2(√100+25+25) = 1/2(√150) =1/2( 12.24 )

Area del triangulo = 6.12 (Unid 2)

Volumen de un paralelepípedo.

Por medio de una combinación entre el producto punto y producto cruz, podemos hallar el volumen de un paralelepípedo que se forma al trazar las paralelas de tres vectores, de la siguiente manera.