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ÁLGEBRA LINEAL

1. Sistemas de Ecuaciones.

2. Matrices.

3. Gauss Jordan.

4. Teoría de Grafos.

5. Determinantes.

6. Vectores.

7. Rectas y planos.

Determinantes

DETERMINANTES

En Matemáticas se define el determinante como una forma  alternada multilineal de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

FORMAS DE RESOLVERLO 

1. MÉTODO DE CRAMMER:

2. MÉTODO DE SARRUS:

3. MÉTODO DE GAUSS JORDAN:

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.

1. Si una matriz A, tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

2. El determinante de una matriz A es igual al determinante de la matriz transpuesta de A.

3. Si A y B son matrices de nxn. el determinante del producto de AB es igual al producto de los determinantes de A y B.

4. El determinante de la matriz I, es igual a 1.

5. Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A, entonces el determinante cambia de signo.

6. Si dos filas (columnas) de la matriz A son iguales, entonces el determinante de A es cero.

Teoria de Grafos

TEORÍA DE GRAFOS

La teoría de grafos es un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la computación, que estudia las propiedades de los grafos, estructuras que constan de dos partes:

               

                A. El conjunto de vértices: Nodos o puntos.

                B. El conjunto de aristas: Lineas o lados. 

ORIGEN:
la teoría de grafos se remonta al siglo xvii con el problema de los puentes de Konigsberg, el cual consistía en encontrar un camino que recorriera los 7 puentes del rió Pregel en la ciudad de Konigsberg, de modo que se recorrieran todos los puentes pasando una sola vez por cada uno de ellos. Este trabajo fue titulado (la solución de un problema relativo a la geometría de la posición). En 1736, fue considerado el primer resultado de la teoría de grafos resuelto por Leonard Euler.

TIPOS DE GRAFOS:

1. Grafo Simple:  Es aquel que acepta una sola arista uniendo dos vértice cualesquiera. Esto es equivalente a decir que una arista cualquiera es la uncia que une dos vértices específicos. Es la definición estándar de un grafo.

 2. Multigrafo: Es el que acepta mas de una arista entre dos vértices. Estas aristas se llaman múltiples o lazos.

3. Pseudografo: Se incluye algún lazo.

4. Grafo Dirigido: Son grafos en los cuales se ha añadido una orientación a las aristas, que es representada gráficamente por una flecha.

5. Grafo No Dirigido: Son grafos en los cuales no se ha añadido orientación, no son flechas.  

6. Grafo Etiquetado: Grafos en los cuales se ha añadido un peso a las aristas (numero entero generalmente) o un etiquetado a los vértices.

7. Grafo Aleatorio: Grafo donde cuyas aristas están asociadas a una probabilidad.

8. Hipergrafo: Grafos en los cuales las aristas tienen mas de dos extremos, es decir, las aristas son incidentes a 3 o mas vértices.

9. Grafo Infinito: Grafos con conjuntos de vértices y aristas de cardinal infinito.

CONSTRUCCIÓN DE UNA MATRIZ A PARTIR DE UN GRAFO:

1. Se crea una matriz cero, cuyas columnas y filas representan la cantidad de nodos del grafo.

2. Por cada arista que une a dos nodos, se suma 1 al valor que hay actualmente en la ubicación correspondiente de la matriz. Si tal arista es un bucle y el grafo es no dirigido, entonces se suma 2 en vez de 1.

3. Finalmente se obtiene una matriz que representa el numero de aristas (relaciones) entre cada par de nodos.

   

EJEMPLO 1:

A. Lo primero que hacemos es construir la matriz de tamaño igual a los nodos del grafo, en este caso la matriz seria de 5x5.

B. Buscamos las aristas que unen dos nodos y en esta posición agregamos un 1, vemos que los nodos (a) y (b) están unidos por una arista, por lo tanto agregamos un 1 a la posición (a,b) e igualmente a la posición (b,a) ya que es un grafo no dirigido.

C. Repetimos el proceso anterior con cada par de nodos que están unidos por una arista hasta tener todos los (1) en la matriz, luego de esto agregamos (0) a las posiciones que quedaron.

D. Y finalmente obtenemos la matriz de nuestro grafo.

EJEMPLO 2:

A. Lo primero que hacemos es construir la matriz de tamaño igual a los nodos del grafo, en este caso la matriz seria de 5x5.

B. Buscamos las aristas que unen dos nodos y en esta posición agregamos un 1, vemos que los nodos (b) y (c) están unidos por una arista, por lo tanto agregamos un 1 a la posición (b,c), sin embargo en este caso vemos que es un grafo dirigido con flechas, que nos indica que (b) se dirige a (c) pero que (c) no se dirige a (b), por lo tanto en la posición (c,b) agregaríamos un 0.

C. Repetimos el proceso anterior con cada par de nodos que están unidos por una arista hasta tener todos los (1) en la matriz, luego de esto agregamos (0) a las posiciones que quedaron, siempre teniendo en cuenta las aristas que están dirigidas de un nodo a otro.

D. Y finalmente obtenemos la matriz de nuestro grafo.

EJEMPLO 3:

A. Lo primero que hacemos es construir la matriz de tamaño igual a los nodos del grafo, en este caso la matriz seria de 5x5.

B. Buscamos las aristas que unen dos nodos y en esta posición agregamos un 1, vemos que los nodos (V5) y (V3) están unidos por una arista, por lo tanto agregamos un 1 a la posición (V5,V3) e igualmente a la posición (V3,V5) ya que es un grafo no dirigido, sin embargo vemos que en este grafo hay aristas que tienen un bucle, lo que hacemos en este caso es agregar un dos, vemos que los nodos (V1) y (V2) están unidos por un bucle, por lo tanto agregamos un 2 a la posición (V1, V2) e igualmente a la posición (V2,V1).

C. Repetimos el proceso anterior con cada par de nodos que están unidos por una arista hasta tener todos los (1) o (2) en la matriz, luego de esto agregamos (0) a las posiciones que quedaron, siempre teniendo en cuenta las aristas que están como un bucle.

D. Y finalmente obtenemos la matriz de nuestro grafo.

Gauss Jordan

GAUSS JORDAN

Este método debe su nombre a Carl Friedrich Gauss y a Wilhelm Jordan. Se trata de una serie de algoritmos del algebra lineal para determinar los resultados de un sistema de ecuaciones lineales y así hallar matrices. El sistema de Gauss se utiliza para resolver un sistema de ecuaciones y obtener las soluciones por medio de la reducción del sistema dado a otro que sea equivalente en el cual cada una de las ecuaciones tendrá una incógnita menos que la anterior. La matriz que resulta de este proceso lleva el nombre que se conoce como forma escalonada, y se para resolverlo se hace mediante operaciones aritméticas entre las filas de la matriz.

PROPIEDADES.

 1. Si una fila de la matriz tiene todas sus entradas en 0, la matriz tiene múltiples soluciones.

 2. Si una fila tiene sus entradas en 0 y la igualdad diferente de 0, entonces este sistema no tiene solución.

   

EJEMPLO 1:
Reducir el siguiente ejercicio mediante el método de Gauss Jordan.

x + 2y + 3z + 4w =5

x + 3y + 5z + 7w = 11

x – z – 2w = -6

Como lo dice una de las propiedades anteriores, cuando el sistema tiene las entradas de una fila iguales a 0 pero en la igualdad da un numero diferente de 0 el sistema no tiene solución, por lo tanto, este sistema no tiene solución. 

EJEMPLO 2:

Reducir el siguiente ejercicio mediante el método de Gauss Jordan.

x + y + 2z - 5w = 3

2x + 5y - z - 9w = -3

2x + y – z + 3w = -11

x - 3y + 2z + 7w = -5

Como lo vimos en las propiedades, cuando una fila de la matriz tiene todas sus entradas en 0, decimos que es un sistema con múltiples soluciones, por lo tanto, deducimos del sistema anterior que:

x + 2w = -5

y – 3w = 2

z – 2w = 3

VÍDEO EXPLICACIÓN.

Matrices

MATRIZ

Una matriz es un arreglo de números (llamados entradas de la matriz) ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales.

A una matriz con (n) filas y (m) columnas se le denomina matriz (n-por-m) escrito (n x m) donde (n, m) pertenecen a los números naturales exceptuando el cero. El tamaño de una matriz siempre se da con el número de filas primero y el número de columnas después.

Una matriz se representa por medio de una letra mayúscula(A,B…) y sus elementos con la misma letra en minúscula (a,b...), con un doble subíndice donde el primero indica la fila y el segundo la columna a la que pertenece.

EJEMPLO:

En el ejemplo vemos que la matriz esta nombrada con la letra (A) en mayúscula, y todas sus entradas tienen esta misma letra pero en minúscula (a).

En esta parte de la matriz, vemos como son nombradas las entradas de esta; en el caso de la entrada (a32) notamos que se nombra primero el numero de la fila que es (3) y luego el numero de la columna que es (2).

OPERACIONES DE MATRICES.

A). Suma: Se define la suma de dos matrices como la suma de (A+B) donde el requisito para poder realizar esta operación es que ambas matrices A y B  sean de igual tamaño, al realizar la suma de matrices  se realiza sumando la entrada de A con la misma entrada en B . (a12 + b12).

EJEMPLO:

En el ejemplo lo primero que vemos es que son matrices de igual tamaño y por lo tanto se puede efectuar la suma; también vemos como en la matriz resultante (A+B) se suman las entradas de la matriz A mas las entradas de la matriz B. y tenemos como resultado la matriz (A+B) Marcada de azul. 

Propiedades de la Suma:

        

              - Asociativa:

                                         (A + B) + C = A + (B + C)

              

             - Conmutativa:

                                         (A + B) = (B + A) 

                    

B). Producto de un Escalar por una Matriz: Se define producto de un escalar por una matriz, a una matriz A=(n x m) que es multiplicada por un numero real (K), donde cada elemento de la matriz (A) es multiplicado por (K).

EJEMPLO:

En el ejemplo vemos como cada una de las entradas de la matriz formada de 3x3 es multiplicada por el numero 2, dando como resultado la matriz que esta marcada en color azul.

C). Producto de Matrices: Se define la multiplicación de matrices como el producto de (A * B) donde el requisito para efectuar la operación, es que el numero de columnas de (A) sea igual al numero de filas de (B). Para realizar el producto se hace multiplicando la entradas de filas en (A) por entradas de columnas en (B). de la siguiente manera (a11 * b11) + (a12 * b21) + (a13 * b31) y asi sucesivamente hasta resolver todo el producto.

EJEMPLO:

En el ejemplo vemos primeramente que el numero de columnas de la primera matriz (A) es igual al numero de filas de la segunda matriz (B), por lo tanto se puede realizar el producto, luego vemos como las entradas de las filas de (A) multiplican las entradas de las columnas de (B), dando como resultado la matriz marcada de azul.

Propiedades del Producto:

             - Asociativa:

                                         (A * B) * C = A * (B * C)

              

             - Conmutativa:

                                         (A * B) =/= (B * A) -No es Conmutativa.

             - Distributiva respecto a la suma:
                                         A * (B + C) = A * C + A * B

MATRIZ TRANSPUESTA.

Dada una matriz A, se llama matriz transpuesta al cambio de orden de entradas de esta matriz, donde las filas de (A) pasan a ser columnas en (A).

EJEMPLO:

En el ejemplo vemos claramente que la matriz (A) al ser transpuesta cambian de orden sus filas y columnas, y lo que eran las filas en (A) pasan a ser columnas en A transpuesta como se indica en l matriz marcada de color azul.

MATRIZ BINARIA.

Una matriz binaria de (m x n), es una matriz en donde todas sus entradas son bits. Esto significa, que cada una de sus entradas tiene un valor de 1 o 0.

EJEMPLO:

En el ejemplo la matriz (A), es una matriz binaria de (6 x 6).

OPERACIONES DE MATRICES BINARIAS. 

Las operaciones de matrices se pueden calcular de manera muy fácil por el hecho de que sus entradas son 1 y 0, las operaciones las podemos calcular por medio de las siguientes tablas:

MATRIZ INVERSA POR COFACTORES

La matriz adjunta, o de cofactores de la matriz A que denotamos por Adj(A), es la matriz cuyo elemento (i, j)(fila i ; columna j) es el adjunto ad _{i , j} = ( - 1 ) ^{i + j} · det( A ^{i , j} ) donde la matriz A ^{i , j} es la matriz que resulta al quitar a la matriz A la fila i y la columna j.

Se cumple que la matriz inversa de A, A ^-1 se puede escribir en función de su adjunta como:

donde la notación de la potencia T expresa transposición de matrices.

Notemos que en la expresión anterior se divide por el determinante, con lo que éste no puede ser cero. Esto es obvio ya que si esto ocurre, la matriz es singular (no regular) y, por tanto, no tiene matriz inversa.

EJEMPLO:

Calculamos los cofactores de A (los elementos de su matriz adjunta).

La matriz adjunta es:

Calculamos el determinante de A:

La matriz inversa es:

Explicación:

Sistemas de Ecuaciones Lineales

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

     

      En álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones, es un conjunto de cuitas en paracaídas ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo.

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (2X2).

Un sistema de ecuaciones lineales de 2x2 es aquel que contiene 2 ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas, se llama solución de un sistema 2x2 a cualquier pareja de valores de X e Y que sean solución de ambas ecuaciones a la vez; los sistemas de ecuaciones 2x2 se pueden resolver por medio de los siguientes métodos:

A). Método de Reducción: Consiste en hacer que se anule una de las incógnitas en las dos ecuaciones. Esto se puede conseguir mediante:

    - La multiplicación de ambas ecuaciones por un número entero.

    - La multiplicación de una de las ecuaciones por un número entero.

    - La suma de las dos ecuaciones sin modificarlas previamente. 

Cuando tenemos las ecuaciones preparadas para que se anule alguna incógnita, las sumamos y despejamos la incógnita que nos queda. Después sustituimos en una de las ecuaciones la incógnita que acabamos de averiguar por su valor y, finalmente, despejamos la incógnita que nos falta por averiguar.

EJEMPLO:

B). Método de Igualación: El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en las dos ecuaciones que componen el sistema e igualar las dos expresiones, formando una ecuación que habremos de resolver. Cuando hemos obtenido el valor de la incógnita, cogemos ese valor y lo ponemos en una ecuación para así, obtener la incógnita que nos falta.

EJEMPLO:

C). Método de Sustitución: El método de sustitución consiste en despejar una incógnita en cualquiera de las dos ecuaciones, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.

EJEMPLO:

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES (3X3).

Un sistema de ecuaciones lineales de 3x3 es aquel que contiene 3 ecuaciones de primer grado con 3 incógnitas, se llama solución de un sistema 3x3 a cualquier conjunto de valores de X, Y, Z,  que sean solución de las 3 ecuaciones a la vez; los sistemas de ecuaciones 3x3 se pueden resolver por medio de los métodos vistos anteriormente y por el siguiente:

A). Regla de Cramer: